“Zientzia Astea 2018” deiturikoa dela-eta, konponbideak “Saria duten problemak” lehiaketara bidaltzeko epea amaitu ondoren, jasotako erantzunak berrikusi dira eta kategoria bakoitzeko sarien zozketa egin da.

Guztira, 58 lehiakidek parte hartu dute, eta horietatik 6 gainditu dituzte proposatutako arazo guztiak. Parte-hartzaileen artean egindako zozketaren ondoren, lehiaketako irabazleak honako hauek dira:

Ainhoa Landa Sedano 

Paula Bikandi San Millán 

Lucía Serrano Hidalgo 

Jon Etxaniz Zafra 

Ulises Martínez Córdova 

Javier Suárez Quero 

Arazo guztiak konpondu dituztenen artean, zozketaren irabazlea izan da:

Sergio Bolufer Catalá 

El jurado también quiere agradecer al resto de concursantes por su interés en el concurso. 

A continuación, se muestran las soluciones de los problemas planteados: 

 

Problema 1:

Oso erraza da, tarta bati zuzen mozten bagara, bi zati lortzen ditugula. Bigarren sorta zuzen batekin, aurrekoa gurutzatzen duena, lau zati lortu ditugu eta hirugarren mozketa zuzen batekin zazpi tarta har ditzakegu. Zein da zazpi pusketa zuzen lor daitezkeen zatirik handiena? Arau orokor bat ondoriozta dezakezu?

Konponbidea:

Mozketa bakoitzarekin mozketa zenbakia bezain pusketak eransten dira, azken sekzioak aurreko lerroetako bakoitzari gehienez ere moztu baitiezaioke. Horrela, bigarren mozketa bat gehitu behar da, hirugarren mozketa 3 punturekin, laugarren etaparekin lau eta horrela hurrenez hurren.

Zazpi ebakidurekin, zenbat zati ditu guztira?

1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 29. 

Formula orokorra,  n ebaketarekin, da:

1+ n(n+1)2

 

Problema 2:

Espedizio: Planeta L. 

Biologoa: Profesor K.  

Txostena: “Hirugarren egunean izaki bitxiak ikusi genituen. Hogei hatz badituzte ere, guk bezala, oso gorputz-adar bat dute, eta hatz bat gehiago gorputz-adar bakoitzean, eta horrek, nolabait, itxura beldurgarria ematen die “.

Konponbidea:

Hurrengo taulan arazoaren datuak adierazten dira.

 

	nabeko tripulatzaileek	L planetako biztanleek
gorputz-adar	x	x-1
Dedos en cada extremidad	20/x	20/(x-1)

 

Soluzioa x = 5 da. Horrela, bada, nabeko tripulatzaileek 5 gorputz-adar dituzte, bakoitza 4 hatz. L planetako biztanleek 4 gorputz-adar dituzte, bakoitza 5 hatz.

Arazoaren gauzarik interesgarriena hauxe da: enuntziatua irakurrita, pentsatzeko joera dago tripulatzaileak planeta ezezagun batera iristen diren gizakiak direla pentsatzeko, egoera, arazoa konpondu ondoren, alderantzizkoa baita: beste planeta bateko izaki arraroak lurrera bisitan etortzen dira. Nabearen tripulatzaileentzat, gure itxura izugarria da.

 

3. Arazoa

Untxi batek badu abantaila bat: 50 untxi-saltsaten baliokidea den txakur bat. Txakurraren jauzi bat untxiaren hiru saltoren parekoa bada eta untxiak zortzi jauzi ematen baditu, eta txakurrak hiru jauzi ematen baditu, zenbat saltsatan iristen dira untxira untxira?

Konponbidea:

Txakurraren hiru jauziak untxiaren 9 jauziren parekoak dira; beraz, txakurrak hiru jauzi ematen dituen bakoitzean, untxira salto egiten du. 50 jauziko aldea deskontatzeko, zakurrak 3 x 50 = 150 jauzi eman beharko ditu, eta untxiak 400 jauzi emango ditu.

 

4. Arazoa

Gau ilun batean bost gizon daude ibaiaren alde honetan. Bostek zubi batetik zeharkatu behar dute ibaia beste alderaino, zubiak gehienez bi gizoni aldi berean eutsi ahal izango diela kontuan hartuta. Linterna bakar bat dute. Horrek behartu egiten du, gizon horietatik bik aldi berean zeharkatzen baldin badute zubia, elkarrekin zeharkatzera, geldoen doanaren abiaduran. Gainera, horrek behartu egiten du haietako bat bueltatzera, geratu zirenei linterna eramateko. Zubia zeharkatzeko bakoitzak behar izan duen denbora desberdina izan da: Geniok, pentsamendua bezain bizkor, minutu 1 behar izan du. Pablok, bere autoa bezain azkar, 2 minutu behar izan ditu. Gustavok, Ipar Poloko hotzak gortuta, 3 minutu behar izan ditu. Ángelek, garagardo kaxa bat eraman nahi izan duenak, 4 minutu behar izan ditu. Danielek, hanka bat elbarrituta duenak, 5 minutu behar izan ditu.

Nola egin behar dituzte zeharraldiak, ibaiaren alde batetik bestera, guztiek ahalik eta denbora laburrenean zeharkatzeko? Kalkulatu gutxieneko denbora ere n pertsonaren kasurako.

Konponbidea:

Hasieran, “Orilla” deituko diogu, eta, horren ondoan, “B” eta “B” ondoan, norakoa izango da. Pertsona bakoitzari ere pasatuko diogu, gurutzatu behar duen denboran.

Gutxieneko denborara daraman estrategia hau da:

Bi pertsonak “orilla a” n badaude, biak gurutzatuko dituzte.
1. eta 2. pertsonetako bat “B orilla” n aurkitzen bada, 1. pertsona gurutzatuko du, linterna “orilla a” ko linterna itzultzeko.
1 edo 2 pertsonetako bat “orilla a” n aurkitzen bada, denbora gehien pasatzen duten bi pertsonak gurutzatuko dituzte.
Estrategia honekin, honako formula hau ezar dezakegu:

T(n) = T(n – 2) + n + 5. 

Horretarako, n pertsonekin, lehenik 1 eta 2 pertsonak pasatzen dira (bi minutu), 1. pertsona itzultzen da (minutu bat), n eta n – 1 (minutu minutu) pertsonak pasatzen dira eta 2. pertsona itzultzen da (bi minutu). Une honetan, arazoa n – 2 pertsona baino gutxiagokoa da.

Formula hau hurrenez hurren aplikatuz, formula esplizitua lortzen da

T(2n + 1) = n2 + 7n – 2; T(2n) = n2 + 6n – 5. 

Adibidean (n = 5),  T = 16 minutos. 

Bitxikeria gisa, ikus daiteke t (n) ren balioen segida 1. arazoarekin bat datorrela.

 

 5. Arazoa

Ana eta Beatriz oraintxe egin dira Carmenen lagun, eta bere urtebetetzea noiz den jakin nahi dute. Carmenek ez die erantzuten baina 10 data posibleren zerrenda bat ematen die:

• Maiatzak 15 – Maiatzak 16 – Maiatzak 19,
• Ekainak 17 – Ekainak 18,
• Uztailak 14 – Uztailak 16,
• Abuztuak 14 – Abuztuak 15 – Abuztuak 17.

Orduan, Carmenek esaten die belarrira, batari bere urtebetetzearen hilabetea, eta eguna besteari, eta data osatua zein den jakitea lortu ahal izango duten galdetzen die. Orduan, elkarrizketa hau sortzen da:

• Ana: Ez dakit noiz den Carmenen urtebetetzea, baina badakit Beatrizek ere ez dakiela.
• Beatriz: Hasieran ez nekien noiz zen Carmenen urtebetetzea, baina orain badakit.
• Ana: Orduan nik ere badakit noiz den Carmenen urtebetetzea.

Noiz betetzen ditu urteak Carmenek?

Anak hilabetea edo eguna ezagutzen duen jakin behar dugu. Dakiguna eguna bada, ezin izango litzateke 18 edo 19 izan, ez baitira errepikatzen. Ekainaren 18an baztertuta geratuta, urtebetetze data ekainaren 17an baldin bada, Beatrizek jakin dezake hori dela hilabete horretako aukera bakarra. Abuztuaren 17an izango balitz, Anak ezin izango luke esan urtebetetze-data ere badakiela. Beraz, aukera bakarra ekainaren 17koa da.
Ana hil berria bada, Ana ziur dago Beatrizek ez dakiela noiz den urtebetetze-eguna, eta baztertu egin behar du maiatzean eta ekainean (hilaren 19an bakarrik agertu zen eta hilaren 18an bakarrik agertu zen ekainean).
Beste hitz batzuetan, Ana maiatzeko edo ekaineko erantzuna izango balitz, ezin izango luke ziur Beatrizek ez zuela urtebetetze-data ezagutzen, Beatriz 18 edo 19 aukeratu baitzuten.
Premisa horrekin jarraituz, Beatrizek badaki maiatza eta ekaina baztertuta daudela. Beraz, uztailaren 16an, abuztuaren 15ean edo abuztuaren 17an (ezin da 14 izan, bestela ez nuke jakingo).
Ana ere ziur egon daiteke dataz, jakin behar du uztaila dela. Abuztua balitz, ezin izango luke ziur egon hilabete honetan, 15 eta 17an, bi data daudelako.
Beraz, uztailaren 16a da urtebetetze-eguna.

 

6. Arazoa

Orri laukidun bat dugu, 5×5 neurrikoa, irudian ikusten den bezalakoa.

 

 

Aukeratu ezazu laukietatik edozein abiapuntu gisa eta mugitu zaitez koadrikulan zehar arau hauei jarraituz:

• Zehazki hiru laukitatik mugi zaitezke horizontalean edo bertikalean, edo zehazki bi laukitatik diagonalean.
• Ezin duzu joan aurretik bisitatu duzun lauki batera.
• Ezin duzu salto egin taulatik kanpo.

Taulako 25 laukiak bisitatzea da helburua. Posible da? Nola? Posible balitz: Zeintzuk dira bisitatu ditzakezun laukien gutxieneko eta gehieneko kopurua adierazitako arauei jarraituta?

 

Guztira 12400 modu daude, hausnarketak eta txandaketak kontatuz. Lotura honetan irtenbide animatua dago. (https://fivethirtyeight.com/features/the-eternal-question-how-much-do-these-apricots-weigh/). 

 

Beste irtenbide bat honako diagrama honetan agertzen da:

 

7	19	14	6	1
22	11	3	21	12
17	25	8	18	15
4	20	13	5	2
23	10	16	24	9

 

Gutxienez 8 laukitxo bisitatu daitezke, eta 32 forma daude. Hona hemen horietako bat:

 

6			5
1			2
	4	7
8			3

 

 

 Referencias: 

Adrián Paenza. Detectives. Ed. Sudamericana, 2015. 

Juegos de lógica y estrategia, https://juegosdelogica.net/ 

Mathematrec, https://mathematrec.wordpress.com/tag/riddler/