Finalizado el plazo para enviar las soluciones al concurso “Problemas con premio”, convocado con motivo de la celebración de “Zientzia Astea 2018”, se ha procedido a la revisión de las respuestas recibidas y al sorteo de los premios por cada categoría.
Han participado 58 concursantes, 6 de los cuales han resuelto todos los problemas propuestos. Después del sorteo realizado entre los participantes, los ganadores del concurso “Problemas con premio” son:
Ainhoa Landa Sedano
Paula Bikandi San Millán
Lucía Serrano Hidalgo
Jon Etxaniz Zafra
Ulises Martínez Córdova
Javier Suárez Quero
Entre quienes han resuelto todos los problemas, el ganador del sorteo ha sido
Sergio Bolufer Catalá
El jurado también quiere agradecer al resto de concursantes por su interés en el concurso.
A continuación, se muestran las soluciones de los problemas planteados:
Problema 1:
Es muy sencillo comprobar que, si realizamos un corte recto a una tarta, obtenemos dos trozos. Con un segundo corte recto que cruce el anterior, conseguimos cuatro trozos y con un tercer corte recto podemos llegar a siete trozos de tarta. ¿Cuál es el mayor número de trozos que se pueden conseguir con siete cortes rectos? ¿Puedes deducir una regla general?
Solución:
Con cada corte se añaden tantos trozos como el número de corte porque la última sección puede cortar como máximo una vez a cada una de las líneas anteriores. Así, con el segundo corte se suman dos, con el tercer corte se suman tres, con el cuarto corte se suman cuatro y así sucesivamente.
Con siete cortes, el número total de trozos es
1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 29.
La fórmula general, con n cortes, es
1+ n(n+1)2
Problema 2:
Expedición: Planeta L.
Biólogo: Profesor K.
Informe: “El tercer día vimos seres extraños. Aunque tienen veinte dedos en total, como nosotros, tienen una extremidad menos y un dedo más en cada extremidad, lo que les da, por cierto, un aspecto espantoso”. ¿Cuántas extremidades poseen dichos seres?
Solución:
En la siguiente tabla se indican los datos del problema.
| Tripulantes de la nave | Habitantes del planeta L | |
| Extremidades | x | x-1 |
| Dedos en cada extremidad | 20/x | 20/(x-1) |
La solución es x = 5. Así, pues, los tripulantes de la nave tienen 5 extremidades con 4 dedos en cada una. Los habitantes del planeta L tienen 4 extremidades con 5 dedos en cada una.
Lo interesante del problema es que, leído el enunciado, se tiende a pensar que los tripulantes son humanos terrestres que llegan a un planeta desconocido, cuando la situación, tras resolver el problema, es la inversa: extraños seres de otro planeta llegan de visita a la tierra. Para los tripulantes de la nave nuestro aspecto resulta espantoso.
Problema 3
Un conejo lleva una ventaja a un perro que lo persigue equivalente a 50 saltos de conejo. Si un salto del perro equivale a tres saltos del conejo y el conejo da ocho saltos mientras el perro da tres, ¿en cuántos saltos alcanza el perro al conejo?
Solución:
Los tres saltos del perro equivalen a 9 saltos del conejo, de modo que, cada vez que el perro da tres saltos, le descuenta un salto al conejo. Para descontar la ventaja de 50 saltos, el perro tendrá que dar 3 x 50 = 150 saltos, mientras el conejo dará 400 saltos.
Problema 4
Una noche oscura hay cinco hombres de este lado del río. Los cinco deben cruzar al otro lado a través de un puente que como máximo puede sostener a dos hombres al mismo tiempo. Tienen una sola linterna. Esto obliga a que si dos hombres cruzan al mismo tiempo, deban hacerlo juntos, a la velocidad del más lento. También obliga a que alguno de ellos vuelva para llevarles la linterna a los que se quedaron. Cada uno tarda un tiempo diferente en cruzar: Genio, veloz como el pensamiento, tarda 1 minuto. Pablo, rápido como su automóvil, tarda 2 minutos. Gustavo, entumecido por los fríos del Polo Norte, tarda 3 minutos. Ángel, que insiste en llevar una caja de cerveza, tarda 4 minutos. Daniel, tullido de una pierna, tarda 5 minutos.
¿Cómo han de realizar los cruces, de uno a otro lado del río, para tardar el mínimo tiempo posible en cruzarlo todos? Calcular también el tiempo mínimo para el caso de n personas.
Solución:
Llamaremos “orilla A” al lado en el que inicialmente se encuentran y “orilla B” al lado contrario, que será el del destino. También denotaremos a cada persona por el tiempo que tarda en cruzar.
La estrategia que lleva al tiempo mínimo consiste en lo siguiente:
- Si las dos personas 1 y 2 se encuentran en la “orilla A”, cruzarán ambas.
- Si alguna de las personas 1 y 2 se encuentran en la “orilla B”, cruzará la persona 1 para devolver la linterna a las de la “orilla A”.
- Si sólo una de las personas 1 o 2 se encuentran en la “orilla A”, cruzarán las dos personas que más tiempo tardan.
Con esta estrategia, podemos establecer la siguiente fórmula recursiva
T(n) = T(n – 2) + n + 5.
Para ello, con n personas, pasan primero las personas 1 y 2 (dos minutos), vuelve la persona 1 (un minuto), pasan las personas n y n – 1 (n minutos) y vuelve la persona 2 (dos minutos). En este momento, el problema se reduce al de n – 2 personas.
Aplicando sucesivamente esta fórmula, se obtiene la fórmula explícita
T(2n + 1) = n2 + 7n – 2; T(2n) = n2 + 6n – 5.
En el ejemplo (n = 5), es T = 16 minutos.
Como curiosidad, se puede observar que la sucesión de valores de T(n) coincide con la correspondiente del problema 1.
Problema 5
Ana y Beatriz acaban de hacerse amigas de Carmen, y quieren saber cuándo es su cumpleaños. Carmen no les contesta pero les da una lista de 10 posibles fechas.
15 de mayo – 16 de mayo – 19 de mayo
17 de junio – 18 de junio
14 de julio – 16 de julio
14 de agosto – 15 de agosto – 17 de agosto
Entonces, Carmen les dice al oído, a una de ellas el mes y a otra el día de su cumpleaños, y les pregunta si pueden descubrir la fecha completa. Entonces se desarrolla el siguiente diálogo:
– Ana: No sé cuándo es el cumpleaños de Carmen, pero sí sé que Beatriz tampoco lo sabe.
– Beatriz: Al principio no sabía cuándo era el cumpleaños de Carmen, pero ahora sí lo sé.
– Ana: Entonces yo también sé cuándo es el cumpleaños de Carmen.
¿Cuándo cumple años Carmen?
Primero tenemos que averiguar si Ana conoce el mes o el día. Si lo que sabe es el día, no podría ser el 18 ni el 19, que son los únicos que no se repiten. Al quedar descartado el 18 de junio, si la fecha de cumpleaños es el 17 de junio, Beatriz ya puede saberlo pues es la única opción correspondiente a ese mes. Si hubiera sido el 17 de agosto, Ana no podría concluir diciendo que ya sabe también la fecha de cumpleaños. Por tanto, la única opción es la del 17 de junio.
En el caso de que Ana conozca el mes, para que Ana esté segura de que Beatriz no sabe cuándo es el cumpleaños, ha de descartar los meses de mayo y junio(el día 19 solamente aparece en mayo y el día 18 sólo aparece en junio).
En otras palabras, si Ana hubiera elegido mayo o junio como respuesta, no podría estar segura de que Beatriz no conocía la fecha del cumpleaños, puesto que Beatriz podría haber elegido el 18 ó 19.
Siguiendo con esa premisa, Beatriz sabe que mayo y junio están descartados. Por lo tanto, debe ser el 16 de julio, el 15 de agosto o el 17 de agosto (no puede ser el 14 porque si no, no lo sabría).
Como Ana también puede ya estar segura de la fecha, debe saber que es julio. Si fuera agosto, no podría estar segura puesto que hay dos fechas en este mes, el 15 y el 17.
Por lo tanto, la fecha del cumpleaños es el 16 de julio.
Problema 6
Se dispone de una hoja cuadriculada de tamaño 5×5, como se muestra en la imagen.
Elige uno cualquiera de los cuadrados como punto de partida y desplázate a lo largo de la cuadrícula siguiendo estas reglas:
- Puedes desplazarte exactamente tres casillas horizontal o verticalmente o bien exactamente dos casillas diagonalmente.
- No puedes desplazarte a una casilla previamente visitada.
- No puedes saltar fuera del tablero.
El objetivo es visitar las 25 casillas del tablero. ¿Es posible hacerlo? ¿Cómo? Si no fuera posible, ¿cuáles son el mínimo y máximo número de casillas que puedes visitar siguiendo las reglas indicadas?
Existe un total de 12400 formas de conseguirlo contando reflexiones y rotaciones. En este enlace se encuentra una solución animada (https://fivethirtyeight.com/features/the-eternal-question-how-much-do-these-apricots-weigh/).
Otra solución se muestra en el siguiente diagrama:
| 7 | 19 | 14 | 6 | 1 |
| 22 | 11 | 3 | 21 | 12 |
| 17 | 25 | 8 | 18 | 15 |
| 4 | 20 | 13 | 5 | 2 |
| 23 | 10 | 16 | 24 | 9 |
El número mínimo de casillas que se pueden visitar es 8, y hay 32 formas de hacerlo. Una de ellas se muestra a continuación:
| 6 | 5 | |||
| 1 | 2 | |||
| 4 | 7 | |||
| 8 | 3 |
Referencias:
Adrián Paenza. Detectives. Ed. Sudamericana, 2015.
Juegos de lógica y estrategia, https://juegosdelogica.net/
Mathematrec, https://mathematrec.wordpress.com/tag/riddler/